# 引言 在嵌入式系统中，ADC 的采样率是硬性瓶颈。例如，Arduino Uno 的 10 位 ADC 最高采样率约 10 kSPS（实际受转换时间限制），而常见的高频信号（如 100 kHz 正弦波）远超此范围。传统思路是使用高速 ADC 或外置采样保持电路，但成本高、复杂度大。欠采样技术提供了一种巧妙的替代方案：利用频谱混叠，让低频采样率“映射”高频信号到低频区间，从而恢复其幅度和频率信息。本文面向有一定基础的嵌入式开发者，深入探讨其原理、实现步骤及误差控制。 # 欠采样原理 ## 奈奎斯特采样定理与混叠 奈奎斯特定理要求采样率 fs 至少为信号最高频率 fmax 的两倍，否则发生混叠（Aliasing）。混叠是指高频分量折叠到低频区间，造成失真。然而，欠采样故意利用这一现象：当信号频率 f 满足 f = n*fs ± f_aliased（n 为整数，f_aliased 为混叠后的低频频率），且 f_aliased < fs/2 时，采样后的信号在频域表现为 f_aliased。通过测量 f_aliased，可以反推原始频率 f，前提是已知 n 或通过多次采样确定。 ## 欠采样的数学表达 设采样周期 Ts=1/fs，采样序列 x[n] = A*sin(2πf*n*Ts + φ)。由于 f*Ts 可能大于 0.5，实际离散频率为 (f mod fs) 的等效值。例如，fs=10 kHz，f=105 kHz，则 f mod fs = 5 kHz，且 5 kHz < fs/2，因此采样后得到 5 kHz 信号。若 f=115 kHz，则 f mod fs = 15 kHz，但 15 kHz > fs/2，实际混叠频率为 fs - 15 kHz = 5 kHz（因为正弦波对称性）。因此，欠采样后频率 f_aliased = |f - n*fs|，且取最小值。 ## 关键条件 - 信号必须是窄带的（带宽远小于 fs/2），否则多个频率分量会混叠重叠，无法分辨。 - 需要已知信号的大致频率范围，以确定 n 值。 - 采样时钟必须稳定，否则引入孔径抖动。 # Arduino 实现欠采样 ## 硬件配置 Arduino 的 ADC 是逐次逼近型，转换时间约 100 μs（10 位分辨率），实际采样率受限于循环和转换时间。为了获得稳定采样率，建议使用定时器触发 ADC，并直接读取 ADC 数据寄存器，避免使用 analogRead() 的额外开销。 ## 配置步骤 1. **设置 ADC 时钟**：Arduino 默认 ADC 时钟为 16 MHz 分频，可调整为 128 分频（125 kHz）或更低，但采样率受限于转换周期（13 个 ADC 时钟）。 2. **使用定时器触发**：例如，使用 Timer1 产生固定频率的 PWM 或比较匹配事件，触发 ADC 转换。 3. **配置 ADC 为自由运行模式或单次转换**：在中断中读取结果。 4. **计算实际采样率**：通过定时器配置精确计算。 ## 代码示例 以下代码使用 Timer1 触发 ADC，采样率设为 10 kHz，测量 105 kHz 信号（预期混叠为 5 kHz）。 ```c // Arduino Uno (ATmega328P) 欠采样示例 // 使用 Timer1 触发 ADC，采样率 10 kHz volatile uint16_t adc_value; volatile bool data_ready = false; void setup() { Serial.begin(115200); // 配置 ADC：参考电压 AVCC，通道 A0，右对齐 ADMUX = (1 << REFS0); // AVCC as reference ADCSRA = (1 << ADEN) | (1 << ADIE) | (1 << ADPS2) | (1 << ADPS1) | (1 << ADPS0); // 使能 ADC，中断，预分频 128 -> ADC时钟 125 kHz // 配置 Timer1 为 CTC 模式，比较匹配触发 ADC TCCR1A = 0; TCCR1B = (1 << WGM12) | (1 << CS11); // CTC, 8分频 OCR1A = 199; // 16 MHz / (8 * (199+1)) = 10 kHz TIMSK1 = (1 << OCIE1A); // 使能比较匹配中断 // 设置 ADC 触发源为 Timer1 比较匹配 ADCSRB = (1 << ADTS2) | (1 << ADTS1) | (1 << ADTS0); // 触发源选择 ADCSRA |= (1 << ADATE); // 使能自动触发 sei(); // 全局中断 } ISR(TIMER1_COMPA_vect) { // 触发 ADC 转换（自动触发，无需额外代码） } ISR(ADC_vect) { adc_value = ADC; // 读取结果 data_ready = true; } void loop() { if (data_ready) { data_ready = false; // 输出采样值，用于串口绘图或分析 Serial.println(adc_value); } } ``` ## 信号处理与频率估计 采集 N 个样本后，可通过过零检测或 FFT 计算混叠频率。例如，对 1000 个样本做 FFT，峰值频率即为 f_aliased。若已知 f 的大致范围，可计算 n = round(f / fs)，然后原始频率 f = n*fs ± f_aliased（符号需根据 f mod fs 是否大于 fs/2 判断）。 # 误差分析 ## 量化误差 ADC 分辨率为 10 位，量化步长 Vref/1024。对于正弦波，量化噪声功率约为 q^2/12，信噪比 SNR = 6.02N + 1.76 dB（N=10 时约 61.9 dB）。欠采样不改变量化误差，但混叠信号幅度可能较小，导致相对误差增大。 ## 孔径抖动（Aperture Jitter） 采样时刻的不确定性（由时钟抖动和触发延迟引起）导致采样值误差。对于高频信号，抖动影响显著：误差幅度 ≈ 2πf * A * Δt。例如，f=100 kHz，A=1V，Δt=1 ns，误差约 0.63 mV，可能小于量化步长，但若 f 更高或抖动更大，误差会超过量化噪声。Arduino 的定时器中断抖动可能达几微秒，因此不适合极高频率。 ## 混叠干扰 若信号含有多个频率分量，欠采样会导致不同频率混叠到同一低频，无法分离。例如，105 kHz 和 115 kHz 在 fs=10 kHz 时都混叠到 5 kHz。因此，必须使用带通滤波器预滤波，确保信号带宽小于 fs/2。 ## 时钟精度 Arduino 的晶振精度约 ±20 ppm，但定时器分频误差可能更大。采样率误差会导致频率估计偏差。例如，fs 实际为 9.99 kHz，则 105 kHz 混叠频率为 |105 - 10*9.99| = 5.1 kHz，而非 5 kHz。 # 注意事项 - **信号幅度**：欠采样要求信号幅度在 ADC 输入范围内，且最好接近满量程以利用分辨率。 - **抗混叠滤波**：硬件上必须加低通滤波器，截止频率低于 fs/2，否则无法避免混叠重叠。 - **确定 n 值**：需要预先知道信号频率的大致范围，否则无法唯一确定原始频率。 - **实时性**：欠采样适合周期性信号，不适合瞬态或非周期信号。 - **替代方案**：若频率极高（>1 MHz），Arduino 的定时器抖动和 ADC 带宽不足，建议使用专用高速 ADC 或比较器。 # 总结 欠采样技术为嵌入式开发者提供了一种低成本测量高频信号的途径，尤其适用于窄带周期信号。通过理解混叠原理、合理配置定时器和 ADC，并严格控制误差源，可以在 Arduino 上实现有效测量。但需牢记其局限性：带宽限制、频率模糊和抖动影响。在实际项目中，应结合硬件滤波和软件算法，权衡精度与复杂度。